segunda-feira, 7 de junho de 2021

Matrizes

 Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).

A função das matrizes é relacionar dados numéricos. Por isso, o conceito de matriz não é só importante na Matemática, mas também em outras áreas já que as matrizes têm diversas aplicações.

Representação de uma matriz

Na representação de uma matriz, os números reais geralmente são elementos inseridos entre colchetes, parênteses ou barras.

Exemplo: Venda dos bolos de uma confeitaria no primeiro bimestre do ano.

ProdutoJaneiroFevereiro
Bolo de chocolate500450
Bolo de morango450490

Essa tabela apresenta dados em duas linhas (tipos de bolo) e duas colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz 2 x 2. Veja a representação a seguir:

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 500 450 linha com 450 490 fim da tabela fecha colchetes espaço ou espaço abre parênteses tabela linha com 500 450 linha com 450 490 fim da tabela fecha parênteses espaço

Elementos de uma matriz

As matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta das informações.

Uma matriz qualquer, representada por m x n, é composta por elementos aij, em que i representa o número da linha e j o número da coluna que localizam o valor.

Exemplo: Elementos da matriz de venda da confeitaria.

aijElementoDescrição
a11500

Elemento da linha 1 e coluna 1

(bolos de chocolate vendidos em janeiro)

a12450

Elemento da linha 1 e coluna 2

(bolos de chocolate vendidos em fevereiro)

a21450

Elemento da linha 2 e coluna 1

(bolos de morango vendidos em janeiro)

a22490

Elemento da linha 2 e coluna 2

(bolos de morango vendidos em fevereiro)

Veja também: Exercícios de matrizes

Tipos de matrizes

Matrizes especiais

Matriz linha

Matriz de uma linha.

Exemplo: Matriz linha 1 x 2.

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes

Matriz coluna

Matriz de uma coluna.

Exemplo: Matriz coluna 2 x 1.

reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 3 linha com 2 fim da tabela fecha colchetes

Matriz nula

Matriz de elementos iguais a zero.

Exemplo: Matriz nula 2 x 3.

reto C espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 0 0 linha com 0 0 0 fim da tabela fecha colchetes

Matriz quadrada

Matriz com igual número de linhas e colunas.

Exemplo: Matriz quadrada 2 x 2.

reto D espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 3 4 fim da tabela fecha colchetes

Veja também: Tipos de matrizes

Matriz identidade

Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Exemplo: Matriz identidade 3 x 3.

abre colchetes tabela linha com 1 0 0 linha com 0 1 0 linha com 0 0 1 fim da tabela fecha colchetes espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonal espaço principal

Veja também: Matriz identidade

Matriz inversa

Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade In, ou seja, texto A . B = B . A = I fim do texto com texto n fim do texto subscrito fim do subscrito.

Exemplo: A matriz inversa de B é B-1.

reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 2 1 linha com 5 3 fim da tabela fecha colchetes espaço reto e espaço espaço espaço reto B à potência de menos 1 fim do exponencial espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 1 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes

A multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade, In.

reto B espaço. espaço reto B à potência de menos 1 fim do exponencial espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com negrito 2 negrito 1 linha com negrito 5 negrito 3 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com negrito 3 célula com negrito menos negrito 1 fim da célula linha com célula com negrito menos negrito 5 fim da célula negrito 2 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com negrito 2. negrito 3 mais negrito 1. parêntese esquerdo negrito menos negrito 5 parêntese direito fim da célula célula com negrito espaço negrito 2. parêntese esquerdo negrito menos negrito 1 parêntese direito mais negrito 1. negrito 2 fim da célula linha com célula com negrito 5. negrito 3 mais negrito 3. parêntese esquerdo negrito menos negrito 5 parêntese direito fim da célula célula com negrito espaço negrito 5. parêntese esquerdo negrito menos negrito 1 parêntese direito mais negrito 3. negrito 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto I com reto n subscrito igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com 6 menos 5 fim da célula célula com parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais 2 fim da célula linha com célula com 15 menos 15 fim da célula célula com parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito mais 6 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a pilha abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes com chave superior acima

Veja também: Matriz inversa

Matriz transposta

É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida.

Exemplo: Bt é a matriz transposta de B.

reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 linha com 1 2 fim da tabela fecha colchetes com espaço 3 reto x 2 subscrito fim do subscrito espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto B à potência de reto t espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 0 1 linha com 0 1 2 fim da tabela fecha colchetes com espaço 2 reto x 3 subscrito fim do subscrito espaço

Veja também: Matriz transposta

Matriz oposta

É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida.

Exemplo: – A é a matriz oposta de A.

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 3 célula com menos 2 fim da célula 0 linha com célula com menos 3 fim da célula 4 0 célula com menos 1 fim da célula linha com 5 1 célula com menos 4 fim da célula 2 fim da tabela fecha colchetes espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos espaço reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 3 fim da célula 2 0 linha com 3 célula com menos 4 fim da célula 0 1 linha com célula com menos 5 fim da célula célula com menos 1 fim da célula 4 célula com menos 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço

A soma de uma matriz com a sua matriz oposta resulta em uma matriz nula.

Igualdade de matrizes

Matrizes que são do mesmo tipo e possuem elementos iguais.

Exemplo: Se a matriz A é igual a matriz B, então o elemento d corresponde ao elemento 4.

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 3 4 fim da tabela fecha colchetes com espaço 2 reto x 2 subscrito fim do subscrito espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 3 reto d fim da tabela fecha colchetes com espaço 2 reto x 2 subscrito fim do subscrito espaço

Operações entre Matrizes

Adição de matrizes

Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.

Exemplo: A soma entre os elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

pilha abre colchetes tabela linha com 1 3 linha com célula com menos 1 fim da célula 0 fim da tabela fecha colchetes com chave inferior abaixo espaço mais espaço pilha abre colchetes tabela linha com 2 0 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes com chave inferior abaixo espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 mais 2 fim da célula célula com 3 mais 0 fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais 3 fim da célula célula com 0 mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço igual a espaço pilha abre colchetes tabela linha com 3 3 linha com 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes com chave inferior abaixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto A espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto B espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto C

Propriedades

  • Comutativa: reto A espaço mais espaço reto B espaço igual a espaço reto B espaço mais espaço reto A
  • Associativa: parêntese esquerdo reto A espaço mais espaço reto B parêntese direito espaço mais espaço reto C espaço igual a espaço reto A espaço mais espaço parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto C parêntese direito
  • Elemento oposto: reto A espaço mais espaço parêntese esquerdo menos reto A parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos reto A parêntese direito espaço mais espaço reto A espaço igual a espaço 0
  • Elemento neutro: reto A espaço mais espaço 0 espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço reto A espaço igual a espaço reto A, se 0 for uma matriz nula de mesma ordem que A.

Subtração de matrizes

Uma matriz é obtida pela subtração dos elementos de matrizes de mesmo tipo.

Exemplo: A subtração entre elementos da matriz A e B produz uma matriz C.

espaço espaço espaço espaço espaço reto A espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto B pilha abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 2 3 fim da tabela fecha colchetes com chave superior acima espaço menos espaço pilha abre colchetes tabela linha com 2 1 linha com 0 4 fim da tabela fecha colchetes com chave superior acima espaço espaço espaço espaço espaço reto A espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço menos reto B espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço reto C pilha abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 2 3 fim da tabela fecha colchetes espaço com chave superior acima mais espaço pilha abre colchetes tabela linha com célula com menos 2 fim da célula célula com menos 1 fim da célula linha com 0 célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes com chave superior acima espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com 1 mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito fim da célula célula com 0 mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula linha com célula com 2 mais 0 fim da célula célula com 3 mais parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço igual a espaço pilha pilha abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 1 fim da célula linha com 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes com chave superior acima com espaço em branco abaixo

Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois reto A espaço menos espaço reto B espaço igual a espaço reto A espaço mais espaço parêntese esquerdo menos reto B parêntese direito.

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou seja, reto A com reto m espaço reto x espaço reto p subscrito fim do subscrito espaço. espaço reto B com reto p espaço reto x espaço reto n subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço reto C com reto m espaço reto x espaço reto n subscrito fim do subscrito.

Exemplo: Multiplicação entre a matriz 3 x 2 e a matriz 2 x 3.

abre colchetes tabela linha com negrito 2 negrito 1 linha com negrito 0 negrito 3 linha com negrito 1 negrito 1 fim da tabela fecha colchetes espaço. espaço abre colchetes tabela linha com negrito 0 negrito 3 negrito 4 linha com negrito 2 negrito 1 negrito 3 fim da tabela fecha colchetes espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com negrito 2. negrito 0 mais negrito 1. negrito 2 negrito espaço fim da célula célula com negrito 2. negrito 3 mais negrito 1. negrito 1 fim da célula célula com negrito espaço negrito 2. negrito 4 mais negrito 1. negrito 3 fim da célula linha com célula com negrito 0. negrito 0 mais negrito 3. negrito 2 negrito espaço fim da célula célula com negrito 0. negrito 3 mais negrito 3. negrito 1 fim da célula célula com negrito espaço negrito 0. negrito 4 mais negrito 3. negrito 3 fim da célula linha com célula com negrito 1. negrito 0 mais negrito 1. negrito 2 negrito espaço fim da célula célula com negrito 1. negrito 3 mais negrito 1. negrito 1 fim da célula célula com negrito espaço negrito 1. negrito 4 mais negrito 1. negrito 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a igual a abre colchetes tabela linha com célula com 0 mais 2 fim da célula célula com 6 mais 1 fim da célula célula com 8 mais 3 fim da célula linha com célula com 0 mais 6 fim da célula célula com 0 mais 3 fim da célula célula com 0 mais 9 fim da célula linha com célula com 0 mais 2 fim da célula célula com 3 mais 1 fim da célula célula com 4 mais 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 2 7 11 linha com 6 3 9 linha com 2 4 7 fim da tabela fecha colchetes

Propriedades

  • Associativa: reto A espaço. espaço parêntese esquerdo reto B espaço. espaço reto C parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto A espaço. espaço reto B parêntese direito espaço. espaço reto C
  • Distributiva à direita: reto A espaço. espaço parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto C parêntese direito espaço igual a espaço reto A espaço. espaço reto B espaço mais espaço reto A espaço. espaço reto C
  • Distributiva à esquerda: parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto C parêntese direito espaço. espaço reto A espaço igual a espaço reto B espaço. espaço reto A espaço mais espaço reto C espaço. espaço reto A
  • Elemento neutro: reto A espaço. espaço reto I com reto n subscrito espaço igual a espaço reto I com reto n espaço subscrito fim do subscrito. espaço reto A espaço igual a espaço reto A, onde In é a matriz identidade

Veja também: Multiplicação de matrizes

Multiplicação de matriz por um número real

Obtém-se uma matriz onde cada elemento da matriz conhecida foi multiplicado pelo número real.

Exemplo:

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 2 1 3 linha com 4 2 1 fim da tabela fecha colchetes 2 espaço. espaço reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com 2.2 fim da célula célula com 2.1 fim da célula célula com 2.3 fim da célula linha com célula com 2.4 fim da célula célula com 2.2 fim da célula célula com 2.1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 4 2 6 linha com 8 4 2 fim da tabela fecha colchetes

Propriedades

Utilizando números reais, m e n, para multiplicar matrizes do mesmo tipo, A e B, temos as seguintes propriedades:

  • m espaço. espaço parêntese esquerdo n espaço. espaço reto A parêntese direito espaço igual a espaço parêntese esquerdo m espaço. espaço n parêntese direito espaço. espaço reto A
  • m espaço. espaço parêntese esquerdo reto A espaço mais espaço reto B parêntese direito espaço igual a espaço m espaço. espaço reto A espaço mais espaço m espaço. espaço reto B
  • parêntese esquerdo m espaço mais espaço n parêntese direito espaço. espaço reto A espaço igual a espaço m espaço. espaço reto A espaço mais espaço n espaço. espaço reto A
  • 1 espaço. espaço reto A espaço estreito igual a espaço reto A

Matrizes e determinantes

Um número real recebe o nome de determinante quando está associado a uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada pode ser representada por Am x n, onde m = n.

Determinante de matrizes de ordem 1

Uma matriz quadrada de ordem 1 possui apenas uma linha e uma coluna. Sendo assim, o determinante corresponde ao próprio elemento da matriz.

Exemplo: O determinante da matriz abre colchetes 5 fecha colchetes é 5.

det espaço reto X espaço igual a espaço abre colchetes 5 fecha colchetes espaço igual a espaço 5

Veja também: Matrizes e determinantes

Determinante de matrizes de ordem 2

Uma matriz quadrada de ordem 2 possui duas linhas e duas colunas. Uma matriz genérica é representada por:

reto A espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com negrito a com negrito 11 subscrito fim da célula célula com reto a com 12 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 21 subscrito fim da célula célula com negrito a com negrito 22 subscrito fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonal espaço principal

A diagonal principal corresponde aos elementos a11 e a22. Já a diagonal secundária tem os elementos a12 e a21.

O determinante da matriz A pode ser calculado da seguinte forma: det espaço reto A espaço igual a espaço reto a com 11 subscrito espaço vezes espaço reto a com 22 espaço subscrito fim do subscrito – espaço reto a com 21 subscrito espaço vezes espaço reto a com 12 subscrito

Exemplo: O determinante da matriz M é 7.

reto M espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 3 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes det espaço reto M espaço igual a espaço 1 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço menos espaço 2 espaço. espaço 3 det espaço reto M espaço igual a menos 1 menos 6 det espaço reto M espaço igual a menos 7

Veja também: Determinantes

Determinante de matrizes de ordem 3

Uma matriz quadrada de ordem 3 possui três linhas e três colunas. Uma matriz genérica é representada por:

reto B espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com célula com reto a com 11 subscrito fim da célula célula com reto a com 12 subscrito fim da célula célula com reto a com 13 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 21 subscrito fim da célula célula com reto a com 22 subscrito fim da célula célula com reto a com 23 subscrito fim da célula linha com célula com reto a com 31 subscrito fim da célula célula com reto a com 32 subscrito fim da célula célula com reto a com 33 subscrito fim da célula fim da tabela fecha colchetes

O determinante da matriz 3 x 3 pode ser calculado utilizando a Regra de Sarrus.

det espaço reto B igual a reto a com 11 subscrito. reto a com 22 subscrito. reto a com 33 subscrito mais reto a com 12 subscrito. reto a com 23 subscrito. reto a com 31 subscrito mais reto a com 13 subscrito. reto a com 21 subscrito. reto a com 32 subscrito menos reto a com 13 subscrito. reto a com 22 subscrito. reto a com 31 subscrito menos reto a com 11 subscrito. reto a com 23 subscrito. reto a com 32 subscrito menos reto a com 12 subscrito. reto a com 21 subscrito. reto a com 33 subscrito

Exercício resolvido: Calcule o determinante da matriz C.

reto C espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 2 linha com 3 4 2 linha com 1 3 4 fim da tabela fecha colchetes espaço

1º passo: Escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

reto C espaço igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 1 2 linha com 3 4 2 linha com 1 3 4 fim da tabela fecha colchetes tabela linha com negrito 0 negrito 1 linha com negrito 3 negrito 4 linha com negrito 1 negrito 3 fim da tabela

2º passo: Multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los.

tabela linha com negrito 0 negrito 1 negrito 2 linha com 3 negrito 4 negrito 2 linha com 1 3 negrito 4 fim da tabela tabela linha com 0 1 linha com negrito 3 4 linha com negrito 1 negrito 3 fim da tabela espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta na posição noroeste seta na posição noroeste seta na posição noroeste espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço Diagonais espaço principais

O resultado será:

tabela linha com célula com negrito 0 negrito. negrito 4 negrito. negrito 4 fim da célula mais célula com negrito 1 negrito. negrito 2 negrito. negrito 1 fim da célula mais célula com negrito 2 negrito. negrito 3 negrito. negrito 3 fim da célula blank linha com negrito 0 blank célula com mais negrito espaço negrito 2 fim da célula blank célula com mais espaço negrito 18 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

3º passo: Multiplicar os elementos das diagonais secundárias e trocar o sinal.

espaço espaço espaço espaço tabela linha com 0 1 negrito 2 linha com 3 negrito 4 negrito 2 linha com negrito 1 negrito 3 negrito 4 fim da tabela tabela linha com negrito 0 negrito 1 linha com negrito 3 4 linha com 1 3 fim da tabela seta na posição nordeste seta na posição nordeste seta na posição nordeste Diagonais espaço secundárias

O resultado será:

tabela linha com célula com menos negrito 2 negrito. negrito 4 negrito. negrito 1 fim da célula menos célula com negrito 0 negrito. negrito 2 negrito. negrito 3 fim da célula menos célula com negrito 1 negrito. negrito 3 negrito. negrito 4 fim da célula blank linha com célula com menos negrito 8 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 0 fim da célula blank célula com menos negrito espaço negrito 12 fim da célula blank fim da tabela tabela linha com blank linha com blank fim da tabela

4º passo: Juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração. O resultado é o determinante.

det espaço reto C espaço igual a espaço 0 espaço mais espaço 2 espaço mais espaço 18 espaço menos espaço 8 espaço menos espaço 0 espaço menos espaço 12 espaço igual a espaço 20 espaço menos espaço 20 igual a espaço 0

Quando a ordem de uma matriz quadrada é superior a 3, geralmente, utiliza-se o Teorema de Laplace para calcular o determinante.


Disponível em https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/

às

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